Probleme pentru campioni.Setul I

1.Determină numerele realea şi b ştiind că:a(1-a) + b(a-b) ≥ 1/3
2.Identifică funcţia f definita pe multimea R si cu valori in R, care verifica conditia:                                                                             f(x) - 3f(0) + ( x- 2 ) f(1) = x^2 + 5.
3.În triunghiul ascuţitunghic  ABC  se ia  punctul  M  pe înălţimea din  B  şi  N  pe înălţimea din C, astfel încît  măsura unghiului AMC egală cu măsura unghiului ANB și egală cu  90^o. Arată că ∆AMN este isoscel.
4. Fie x, y, z din mulțimea Q^* , astfel încît 1/x + 1/y + 1/z = xyz.  Demonstrează că produsul

              (x²y² +1)∙(y²z² +1)∙(x²z²+1) este pătratul unui număr raţional.